Harri Hakulinen
přeložil
RNDr.Ing. Rostislav Halaš, rostislav.halas@cern.ch
(Některé originální vztahy obsahují anglický způsob zápisu desetinného čísla s
desetinnou tečkou)
Cvičení 1 Cvičení 8 Cvičení 2 Cvičení 9 Cvičení 3 Cvičení 10 Teoretický základ Cvičení 4 Cvičení 11 Cvičení 5 Cvičení 12 Cvičení 6 Cvičení 13 Cvičení 7 Cvičení 14
Na urychlovači LHC se budou
urychlovat
protony na velmi vysoké energie. LHC bude umístěn ve stejném tunelu jako LEP.
Jakou největší energii
mohou protony získat, má li tunel délku 27km a magnetická indukce uvnitř vakuové
trubice dosáhne nejvyšší hodnoty 8,36 T
Řešení
Podle II. Newtonova
zákona F = ma a za předpokladu, že svazek má kruhový tvar, máme
a hybnost částice svazku
je p = mv, kde m je celková hmotnost částice. Odtud dostaneme
Efektivní délka kružnice je
menší než 27 km, neboť maximální plánovaná energie je 7 TeV.
Je-li energie protonů 7 TeV, je dle Einsteinových rovnic hybnost protonů
nebo
Zbývající délku
urychlovače pokrývají jiné části urychlovače, např. urychlovací dutiny,
fokusační magnety aj.
Přímé části urychlovače činí
Na LHC bude ve dvou proti sobě se pohybujících svazcích cirkulovat 2835 shluků částic v každém svazku, které se budou vzájemně srážet v detektorech. Jaký je počet srážek shluků
a)
za jednu sekundu,
b)
během jedné směny, která bude trvat 10 hodin.
Svazky se pohybují téměř rychlostí světla, takže se střetnou každou
takže frekvence srážek je
Udávána je hodnota 40 MHz,
ale ve svazku jsou díry, jinými slovy některé shluky ve svazku chybějí. Tak
vzniká "Pacmanův effect", který "pojídá" svazek kousek po kousku, neboť ty
shluky, které nekolidují se chovají podivně a jakýmsi způsobem požírají ostatní
shluky a vytvářejí ve svazku více děr.
A za 10 hodin nastane
přibližně
Množství dat, která budou shromážděna za jednu sekundu, se
rovná objemu asi 10000 svazků Britannica
Encyclopedia.
Časový interval mezi
shluky přicházejícími na detektor je 25 ns. Kolik kolizí nastane za jednu
sekundu a jaká je frekvence, se kterou se shluky potkávají v urychlovači?
Nastane
Frekvence, se kterou se
shluky setkají, je tedy 40 MHz.
Proud částicového svazku na
LHC má hodnotu 0.5 A. Kolik částic obsahuje jeden shluk, je-li v urychlovači
2835 shluků a časový interval mezi shluky je 25 ns?
Proud je
Časový interval je 25 ns, takže dostáváme
Jaká je celková energie
protonů v jednom prstenci, mají-li protony maximální energii 7 TeV a jeden shluk
obsahuje 1011 částic?
Celková energie svazku je
Pokud ji porovnáte například s člunem, který se pohybuje
rychlostí 3 m/s, což je 11km/h, hmotnost
"člunu" vychází
to je docela velký člun,
spíše záoceánská loď.
Jak velký je proud, je-li v
jednom shluku 1011 částic?
Velikost proudu je
nebo
.
Kolik oběhů vykoná
protonový svazek, než spadne na dno trubice svazku, pokud se nefokusuje?
Průměr trubice svazku na LHC je 18 mm. Z kinematických rovnic dostaneme
a čas je
.
Za tento čas proton vykoná
oběhů.
Svazek by měl vydržet v urychlovači 10 hodin, za které proton vykoná
oběhů.
To je důvod, proč musí být urychlovač doplněn o fokusační zařízení.
Za jak dlouho by Mika
Hakkinen urazil stejnou dráhu jako protony v trubici svazku za jednu sekundu
Trvalo by to
= 937,5 h = 39 dní ( a nocí).
Na urychlovači LHC v CERNu může být nárůst proudu v supravodivých magnetech 10 A za sekundu. Jak dlouho bude trvat, než se dosáhne maximálního proudu 11700 A?
Doba nárůstu proudu je
.
Základní součástí
urychlovače LHC jsou supravodivé dipólové magnety, které jsou 15 m dlouhé a jsou
vyrobeny z oceli. Jak se změní délka trubice magnetu po ochlazení na 1,9 K,
byla-li počáteční teplota 20oC?
V MFCHT najdeme pro součinitel délkové teplotní roztažnosti železa (není uvedena ocel, neboť hodnota silně závisí na druhu oceli) hodnotu
Zkrácení dipólového magnetu by činilo
Tak velké zkrácení není přijatelné. Speciální ocel musí mít mnohem menší hodnotu součinitele délkové teplotní roztažnosti. Samostatně již určete koeficient délkové teplotní roztažnosti, nemá-li změna délky činit víc než 20 mikrometrů.
Frekvence případů (event
rate) dává informaci o počtu čelních srážek, které nastanou v detektoru
kde frev
udává, kolikrát proběhne jeden shluk celý prstenec. N1
a N2 jsou počty částic v
každém shluku, které se pohybují proti sobě. A je průřez svazku a
s
je účinný průřez určitého případu (jistý druh pravděpodobnosti, že
nastane určitý případ). První část se nazývá luminosita L a je definována
Takže frekvence případů
může být vyjádřena
.
Když znáte frekvenci fbunch,
se kterou se shluky setkávají, frekvence
případů je
Luminosita na LEPu
dosahovala hodnoty 100 ×
1030 cm-2s-1. Nechť účinný průřez jistého
případu je 1.0 ×
10-24 cm2 , tj jeden barn (b). Kolik případů
nastane za jednu sekundu?
Frekvence případů na LEPu
při účinném průřezu 1 barn je
Doba jednoho oběhu je
a frekvence oběhů je
.
V prstenci LEPu byly čtyři
shluky, takže frekvence kolizí byla
a časový interval mezi srážkami byl
.
Počáteční luminosita LHC
je plánována na 1 ×
1033 cm-2s-1. Odhadovaný účinný průřez pro
generaci Higgsova bosonu, který se rozpadá na dva fotony
g, je
50 fb. Kolik případů očekáváme detekovat za jednu sekundu?
Frekvence případů je
Musíte čekat
než se objeví jeden
Higgsův boson.
Na urychlovači Tevatron v
Chicagu dosahuje po provedené rekonstrukci luminosita hodnoty 1030 cm-2s-1
. Jak dlouho budete muset čekat na Higgsův boson v procesu, ve kterém se Higgs
rozpadá na dva fotony s účinným průřezem stejným jako v minulém příkladě?
Tevatron dosahuje maximální energie 1 TeV a protože je účinný průřez funkcí
energie, bude výpočet pouze orientační.
Poznámka z konce roku 2003: Prozatím se po zkušenostech z prvních 2 let ovšem zdá, že Tevatron má problémy dosáhnout plánované luminosity a udržet ji po dostatečně dlouhou dobu, což staví otázku souboje o prioritu v objevu Higgsova bosonu do poněkud jiného světla. Spíše to vypadá, že řešení této otázky bude muset počkat až na experimenty na LHC.
Frekvence případů je
Budete muset čekat
na první Higgsův boson a
na 10 Higgsových bosonů,
abyste si byli jisti, že je to skutečně Higgsův boson.
Tevatron započal s
experimentem v roce 2002 a LHC bude dokončen v roce 2007. Takže závod o to, kdo
první nalezne Higgsův boson bude velmi tvrdý.
Účinný průřez pro produkci Higgsova
bosonu rozpadajícího se na kvarky top a antitop je 20 pb, takže bychom
očekávali
a stačilo by čekat pouze
50 sekund.
Luminosita LHC je 1
×
1034 cm-2s-1. Nastane-li 17000 případů za 100
ms, jaký je účinný průřez tohoto případu vyjádřený v barnech?
Frekvence případů je
takže účinný průřez
případu je
Účinný průřez reakce
vedoucí k
produkci částice Z, jednoho z nosičů slabé interakce, na LEPu, kde se srážely
elektrony s pozitrony, byla 32 nbarn při energii svazku 91 GeV. Jak dlouho
museli čekat na první případ měla-li luminosita hodnotu 23×1030cm-2s-1?
Frekvence případů je
Takže trvalo přibližně
1/(0,736 1/s) = 1,4 s , než vznikla první částice Z
(s nulovou kinetickou energií).
Existují tři druhy částic,
které jsou složeny z kvarků. Mesony se skládají z kvarku a antikvarku (qq),
baryony ze tří kvarků (qqq) a antibaryony ze tří antikvarků (qqq). Byly
objeveny částice jen s těmito kombinacemi kvarků.
Aby teoretikové vysvětlili
výše zmíněné kombinace kvarků, přiřazují ke každému kvarku jistou barvu
(červenou, modrou nebo zelenou) a antikvarku přiřazují antibarvu. Pravidlo zní,
že všechny částice musí mít bílou barvu a částice mají bílou barvu, když
kvarky uvnitř částic mají tři různé barvy nebo jednu barvu a k ní jednu antibarvu.
Další pravidlo je založeno
na tom, že nikdo nepozoroval částici, která by neměla celočíselný náboj (myslíme
v násobcích velikosti náboje elektronu). Náboj musí mít hodnotu –1, 0, +1 nebo
+2 neboť náboje kvarků mají hodnoty +2/3 nebo –1/3. Například třikrát +2/3 jsou
+2 nebo (+2/3) + (-1/3) + (-1/3) je nula nebo třikrát –1/3 je –1.
|
Kvark |
Označení |
Náboj
[e |
|
up |
u |
+2/3 |
|
down |
d |
-1/3 |
|
strange |
s |
-1/3 |
|
charm |
c |
+2/3 |
|
bottom |
b |
-1/3 |
|
top |
t |
+2/3 |
Kolik mesonů a baryonů v
základním stavu (spin = 0) může existovat dle Standardního modelu, kdybychom
měli
a) 4 kvarky (u, d, s, c) nebo
b) 6 kvarků (viz tabulka
dole).
Až budete počítat náboj
částic v části b), bude užitečné si kvarky uspořádat následovně:
|
|
Náboj
[e |
|
u |
+2/3 |
|
c |
+2/3 |
|
t |
+2/3 |
|
d |
-1/3 |
|
s |
-1/3 |
|
b |
-1/3 |
Začněme nejprve s
kombinacemi kvark a antikvark (q,aq), tedy s mesony.
|
u +2/3
|
d -1/3
|
s -1/3 |
c +2/ 3 |
|
au -2/3
|
ad +1/3
|
as +1/3 |
ac -2/ 3 |
Náboj může být buď nula,
plus jedna nebo minus jedna.
V případě nulového náboje musí být každý kvark kombinován postupně se dvěma antikvarky, takže je celkem 4 × 2 = 8 možností.
V případě náboje +1 nebo –1 jsou dvě možnosti pro každý kvark, takže celkem 8 pro náboj +1 a 8 pro náboj -1, tedy celkem 16 různých mesonů je možno složit ze čtyř kvarků.
Stejně můžete postupovat
se šesti kvarky.
|
u +2/3
|
d -1/3
|
s -1/3 |
c +2/ 3 |
b –1/3 |
t +2/3 |
|
au -2/3
|
ad +1/3
|
as +1/3 |
ac -2/ 3 |
ab +1/3 |
at –2/3 |
Můžete kombinovat každý
kvark se třemi ostatními abyste dostali nulový náboj, takže při šesti kvarcích
dostanete celkem 6 ×
3 = 18 různých částic.
Má-li být náboj –1 nebo
+1, ke každému kvarku existují tři možné antikvarky, takže je 6
× 3 =
18 různých možností. Existuje tedy 36 různých mesonů, které můžete složit ze 6
kvarků.
Existuje jiná možnost
řešení úkolu. Umístíme všechny kvarky do následující tabulky
|
|
au -2/3 |
ad +1/3 |
as +1/3 |
ac -2/3 |
ab +1/3 |
at -2/3 |
|
u +2/3 |
u,au 0 |
a |
atd |
atd |
|
|
|
d -1/3 |
d,au -1 |
|
|
|
|
|
|
s -1/3 |
s,au -1 |
|
|
|
|
|
|
c +2/3 |
c,au 0 |
|
|
|
|
|
|
b -1/3 |
b,au -1 |
|
|
|
|
|
|
t +2/3 |
t,au 0 |
|
|
|
|
|
tímto způsobem dostaneme 6
×
6 = 36 různých mesonů v základním stavu (spin = 0).
Nejprve se podívejme na
kombinace tří kvarků (qqq).
Vezměme nejprve baryony s
nulovým nábojem (Q = 0). Každý kvark s nábojem +2/3 může být spojen s jiným s
nábojem –1/3 šesti způsoby. Například kvark u s s kvarky dd, ds, ss,
st, tt, dt, což lze uskutečnit 6-ti způsoby. Stejný počet je pro kvarky c
a t , které mají rovněž náboj +2/3. Máme tedy celkem 18 různých částic.
|
Kvark |
Náboj
[e |
|
u |
+2/3 |
|
c |
+2/3 |
|
t |
+2/3 |
|
d |
-1/3 |
|
s |
-1/3 |
|
b |
-1/3 |
Dále baryony s nábojem
–1. Kvarky ze spodní části tabulky se váží navzájem 3×3×3=27-mi
způsoby a tak dostaneme 27 různých částic.
Stejné je to s nábojem +2
(horní část tabulky). Mohou se vázat navzájem 3×3×3
= 27-mi způsoby, takže dostaneme 27 dalších částic.
Nakonec náboj +1, ale
způsob výpočtu je podobný výpočtu při náboji nula. Vezmete jednu částici z dolní
části tabulky (Q = -1/3) a svážete ji se dvěma částicemi z horní části (Q =
+2/3)
Dohromady máme 18 + 27 + 27 + 18 = 90 různých částic zvaných baryony. Existují ale také antičástice, takže dostaneme dalších 90 částic a celkový počet baryonů je 180. To je v případě, že částice jsou v základním stavu s minimální energií. Nejsou zde započítány smíšené a excitované stavy.